Feliz Cumpleaños

“Dicen que viajar abre la mente y que mejor tarde que nunca.”

¿Qué tal te fue por Marruecos?

Pues la verdad que genial, un viaje inolvidable.

Además celebrarías allí el cumpleaños, ¿no?

¡Sí, y no te lo vas a creer pero de veintiséis personas que éramos en la escuela varios cumplíamos años el mismo día!

Pues no me cuesta mucho creerlo, la verdad.

¿¿¿???

No me miréis así. ¿Con cuántas personas diríais que es normal que varias cumplan años el mismo día?

No sé, con muchas. Cientos. O miles.

Jajaja, que va, que va. Mira:

Queremos saber es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo cumplan años el mismo día. Para resolverlo sin muchos dolores de cabeza vamos a hacer una cosa.

Primero calculamos la probabilidad de que ninguno coincida.

La probabilidad de que con una persona su cumpleaños no coincida con otra es 1 ( el 100\ \%)

 P=\frac{Casos favorables}{Casos probables}=\frac{365}{365}={1}

Una segunda persona, tiene 364={365-1} días para que sea su cumpleaños sin que coincida con el de la primera. La probabilidad nos quedaría:

P={{365}\over{365}}\cdot{{364}\over{365}}

Una tercera persona, tendrá 363={365-2} días para que sus cumpleaños no coincidan, y así, sucesivamente, la probabilidad buscada nos queda:

P={{365}\over{365}}\cdot{{364}\over{365}}\cdot{{363}\over{365}}\cdot\ldots\cdot{{365-n+1}\over{365}}

Ahora que ya lo tenemos, si la probabilidad de que ninguna persona de nuestra reunión cumpla años el mismo día es P, la probabilidad del caso contrario (es decir, que al menos dos si los cumplan) será de

1-P

Entonces si cojo n un número cualquiera, no sé, por ejemplo 26:

P\approx{0,40}

1-P\approx{0,60}

¡Anda, pero si es un 60\ \%!Vamos, que en un grupo de 26 personas, lo lógico es esperarme que al menos dos cumplan años el mismo día, nada de cientos y mucho menos miles.

felicidades

Alucinante…aunque tú te aburres mucho ¿no?

Tampoco tanto. Este problema es muy conocido, se llama “La paradoja del cumpleaños” y el número límite, o sea, al partir del cual cabe esperar que dos cumpleaños van a coincidir es de 23 personas con una probabilidad de 0,507, es decir, un 50\ \%.

Pero vamos, que yo si fuese tú sí que me habría quedado atónita.

¿Cómo? ¿No me acabas de demostrar que no hay de que asombrarse?

No no, que YO no tengo nada de qué asombrarme. Pero TÚ sí.

¿¿¿???

Claro, lo que te acabo de explicar se refiere a al menos dos personas cualquiera de veintiséis que sus cumpleaños coinciden, pero en tu caso, no sólo es que coincidan en cualquier fecha, es que ¡coinciden con la tuya!

Mira, piénsalo así, si tengo veintiséis personas puedo hacer muchas parejas (cada pareja sería candidata a que coincidiesen sus cumples): la persona una con la dos, la uno con la tres,etc. Más la dos con la tres, la dos con la cuatro, etc. Y así hasta un total de \frac{26\cdot{25}}{2}=325 parejas.

Sin embargo, si tiene que coincidir con TU cumpleaños solo puedes formar 25 parejas: tú con la primera, tú con la segunda, etc. Y, no te quiero meter más rollo así que directamente te diré que en ese caso la probabilidad es de 0,07, o un 7\ \%.

1-{364 \choose 365}^{26}\approx{0,07}

Vaya liada.

Perdona por felicitarte con una entrada de tu querida estadística =)

2 pensamientos en “Feliz Cumpleaños

    1. Arya Autor de la entrada

      No sé yo hasta qué punto la vida es más compleja que las matemáticas… pero sé lo que quieres decir. Este blog, y en especial esta entrada, no está dedicado a personas que suelan convivir con las matemáticas de cierto nivel, así que di por supuestas varias cosas sin decirlo explícitamente:
      Para los cálculos, supongo que todos los años tienen 365 días y, como bien has apuntado, que nacer un día u otro tiene la misma probabilidad.
      De todas formas, lo presento como una curiosidad, que creo que no deja de serlo.
      Gracias por el apunte, y perdona que no pueda darte una respuesta mejor, en vez de introducir otra hipótesis =P

      Responder

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